Menghitung Luas Daerah Gambar

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = f(x) ³ 0 (grafik di atas sumbu-x) ;
sumbu -x
garis x = a ; garis x = b
b
Luas = ò f(x) dx = 0
a

2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
x = g(y) ³ 0 (grafik di kanan sumbu-y)
sumbu -y ;
garis y = c ; garis y = d
d
Luas = ò g(y) dy = 0
c

b
3. Untuk y = f (x) < 0, maka ò f(x) dx < 0
a
menyatakan luas daerah yang terletak di bawah sumbu x dibatasi oleh garis x = a ; a = b. Karena luas selalu positif, maka :

b b
Luas = - ò f(x) dx = ê ò f(x) dx ê
a a

4. Jika y = f (x) pada interval a < x < b grafiknya memotong sumbu-x, maka luasnya merupakan jumlah dari beberapa integral tertentu.


y = f(x) memotong sumbu x di c ; a < c < b
sumbu-x ;
garis x = a ; garis x = b

c b
Luas = ê ò f(x) dx ê+ ò f(x) dx
a c

5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva


y= f1(x) ; y=f2(x)
garis x = a ; garis x = b

b
Luas = ò [f1(x) - f2(x)] dx a

6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva


Y = f1(x) Y = f2(x) yang berpotongan pada titik-titik yang berabsis c dan d

d
Luas = ò [f1(x) - f2(x)] dx c

HAL KHUSUS

1. Untuk luas antara dua kurva (fungsi kuadrat dengan sumbu-x ; fungsi kuadrat dengan fungsi kuadrat atau fungsi kuadrat dengan fungsi linier dapat digunakan rumus:
Luas = DÖD atau Luas = a êx1 - x2 ê 3
6a2 6
Ket. :
D = Diskriminan hasil eliminasi kedua persamaan (yang tidak disederhanakan)
a adalah koefisien a² hasil eliminasi kedua persamaan.
x1 dan x2 adalah absis titik potong kedua kurva.

2. Luas antara parabola dengan sumbu-x.
Luas = 2/3 luas persegi panjang terkecil yang melingkupinya
= 2/3 (b-a)(c)

Melukis Grafik

y = a cos x + b sin x

a cos x + b sin x = K cos (x - a)

Maksimum = K ® bila cos (x - a) = 1
cos (x - a) = cos 0°
® untuk x = a + n.360°

Minimum = -K ® bila cos (x - a) = -1
cos (x - a) = cos 180°
® untuk x = a ± 180° + n.360°


NILAI PEMBUAT NOL FUNGSI (TITIK POTONG DENGAN SUMBU-x)

y = 0 ® bila cos (x-a) = 0
cos (x-a) = cos 90°
® untuk x = a ± 90° + n360°

grafik dibuat berdasarkan data-data diatas

Rumus-Rumus Trigonometri

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg²a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg²a

SUDUT RANGKAP

sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a
= 2 cos²a - 1
= 1 - 2 sin²a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1
= 2 cos² ½na - 1
= 1 - 2 sin² ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :
K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°



cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°


tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°